PAGE \* MERGEFORMAT 14

Лекция №4

Устойчивость САУ

Свойство системы приходить в исходное состояние после снятия возмущения называется устойчивостью.

Определение.

Кривые 1 и 2 характеризуют устойчивую систему, кривые 3 и 4 характеризуют системы неустойчивые.ε

Системы 5 и 6 на границе устойчивости  5 - нейтральная система, 6 - колебательная граница устойчивости.

Пусть дифференциальное уравнение САУ в операторной форме имеет вид 

Тогда решение дифференциального уравнения (движение системы) состоит из двух частей  Вынужденное движение того же вида что и входное воздействие.

При отсутствии кратных корней где С i -постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий,

 1 ,  2 …,  n – корни характеристического уравнения

Расположение корней характеристического

уравнения системы на комплексной плоскости

Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида возмущения, ни от

начальных условий, а определяются только коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 ,…,а n , то есть параметрами и структурой системы.

1-корень действительный, больше нуля;

2-корень действительный, меньше нуля;

3-корень равен нулю;

4-два нулевых корня;

5-два комплексных сопряженных корня, действительная часть которых

Положительна;

6-два комплексных сопряженных корня, действительная часть которых отрицательная;

7-два мнимых сопряженных корня.

Методы анализа устойчивости :

1. Прямые (основаны на решении дифференциальных уравнений);
2. Косвенные (критерии устойчивости).

Теоремы А.М. Ляпунова.

Теорема 1.

Теорема 2.

Примечания:

1. Если среди корней характеристического уравнения имеется два и более нулевых корня, то система неустойчива.
2. Если один корень нулевой, а все остальные находятся в левой полуплоскости, то система нейтральна.
3. Если 2 корня мнимые сопряженные, а все остальные в левой полуплоскости, то система на колебательной границе устойчивости.

Критерии устойчивости САУ.

Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

В 1877г. Раус установил:

1. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий разработан в 1895г.

Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы: уравнение приводим к виду, чтобы a 0 >0.

Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу:

по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль.

Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:

Формулировка критерия.

Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:

1. Для систем третьего порядка:
2. Для систем четвертого порядка:
3. Для систем пятого порядка:

1. Для систем шестого порядка:

Пример. Дано характеристическое уравнение исследовать устойчивость системы по Гурвицу.

Для устойчивых систем необходимо и

2. Критерий Рауса

Критерий Рауса используется при исследовании устойчивости систем высокого порядка.

Формулировка критерия:

Таблица Рауса.

Алгоритм заполнения таблицы: в первой и второй строках записываются коэффициенты уравнения с четными и нечетными индексами; элементы остальных строк вычисляются по следующему правилу:

Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка.

2. Критерий устойчивости Найквиста

Принцип аргумента

В основе частотных методов лежит принцип аргумента.

Проведем анализ свойств многочлена вида:

Где  i - корни уравнения

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень  i можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку  i : |  i | - длина вектора, arg  i - угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда где j  -  i - элементарный вектор.

Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси.

Модуль вектора, а аргумент (фаза)

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении  от до каждый элементарный вектор (j  -  i ) повернется на угол +  , если  i лежит в левой полуплоскости.

Пусть D ( )=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой, тогда при возрастании  от до изменение аргумента вектора D(j  ) (угол поворота D(j  ), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет

Принцип аргумента:

Критерий Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ, так как по виду частотных характеристик разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста нашел широкое применение в инженерной практике по следующим причинам:

1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости.
2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.
3. Исследовать устойчивость можно по ЛЧХ, построение которых несложно.
4. Удобно определять запасы устойчивости.

1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

Пусть введем вспомогательную функцию заменим p  j  , тогда

Согласно принципа аргумента изменение аргумента D(j  ) и D з (j  ) при 0<  <  равно Тогда то есть годограф W 1 (j  ) не должен охватывать начало координат.

Для упрощения анализа и расчетов сместим начало радиуса-вектора из начала координат в точку (-1, j 0), а вместо вспомогательной функции W 1 (j  ) используем АФХ разомкнутой системы W (j  ).

Формулировка критерия №1

Примеры.

Отметим, что разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ левее точки (-1, j 0) равна нулю.

2. Система, имеющая полюсы на мнимой оси в разомкнутом состоянии

Для анализа устойчивости системы АФХ дополняют окружностью бесконечно большого радиуса при  0 против часовой стрелки до положительной вещественной полуоси при нулевых полюсах, а в случае чисто мнимых корней - полуокружностью по часовой стрелке в точке разрыва непрерывности АФХ.

Формулировка критерия №2

1. Система с неустойчивой разомкнутой цепью

Более общий случай - знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Появление неустойчивости разомкнутой системы вызывается двумя причинами:

1. Следствием наличия неустойчивых звеньев;
2. Следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительной или отрицательной обратными связями.

X отя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая при имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи .

Пусть характеристический многочлен D (p ) разомкнутой системы имеет m корней с положительной вещественной частью.

Тогда

Вспомогательная функция при замене p  j  согласно принципа аргумента для устойчивых замкнутых систем должна иметь следующее изменение аргумента при

Формулировка критерия №3

Формулировка Я.З. Цыпкина

Критерий Найквиста для ЛЧХ

Примечание: фазовая характеристика ЛЧХ астатических систем дополняется монотонным участком +  /2 при  0.

Пример 1. Здесь m =0  система устойчива, но при уменьшении k система может быть неустойчива, поэтому такие системы называются условно-устойчивыми.

Пример 2. 20 lgk 1/ T 0 Здесь При любых k система неустойчива. Такие системы называются структурно-неустойчивыми.

Пример 3. АФХ охватывает точку с координатами (-1, j 0) 1/2 раза, следовательно замкнутая система устойчива.

Пример 4. при  0 АФХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси. На участке от -1 до -  имеется один положительный переход и полтора отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами равна -1/2, а для устойчивости замкнутой системы требуется +1/2, так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень - система неустойчива.

Абсолютно-устойчивой называют систему, которая сохраняет устойчивость при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи, иначе система условно- устойчивая.

Системы, которые можно сделать устойчивыми путём изменения их параметров, называются структурно-устойчивыми , иначе – структурно-неустойчивыми.

Запасы устойчивости

Для нормального функционирования всякая САР должна быть удалена от границы устойчивости и иметь достаточный запас устойчивости. Необходимость этого обусловлена следующими причинами:

1. Уравнения элементов САР, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;
2. При линеаризации уравнений погрешности приближения дополнительно увеличиваются;
3. Параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;
4. Параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;
5. При эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.

В практике инженерных расчетов наиболее широко используют определение запаса устойчивости на основе критерия НАЙКВИСТА, по удалению АФХ разомкнутой системы от критической точки с координатами (-1, j 0), что оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе  и запасом устойчивости по модулю (по амплитуде) H .

Для того чтобы САР имела запасы устойчивости не менее  и H , АФХ ее разомкнутой цепи при удовлетворении критерия устойчивости не должна заходить в часть кольца, заштрихованного на рис. 1, где H определяется соотношением

Если устойчивость определяется по ЛЧХ условно-устойчивых систем, то для обеспечения запасов устойчивости не менее  и h необходимо, чтобы:

а) при h  L  - h фазо-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам θ > -180  +  или θ < -180  -  , т.е. не заходила в заштрихованную область 1 на рис. 2;

б) при -180  +   θ  -180  -  амплитудно-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам L < - h или L > h , т.е. не заходила в заштрихованные области 2" и 2"" на рис. 2.

Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости  и h определяют так, как показано на рис. 3:

1. Запас по фазе

1. Запас по модулю h =- L (ω -π ), где ω -π – частота, при которой θ=-180 ˚ .

Необходимые значения запасов устойчивости зависит от класса САР и требований к качеству регулирования. Ориентировочно должно быть  =30  60  и h =6  20дБ.

Минимально допустимые запасы устойчивости по амплитуде должны быть не менее 6дБ (то есть передаточный коэффициент разомкнутой системы в два раза меньше критического), а по фазе не менее 25  30  .

Устойчивость системы со звеном чистого запаздывания

Если АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j 0), то система на грани устойчивости.

Систему с чистым запаздыванием можно сделать устойчивой, если в схему включить безынерционное звено с передаточным коэффициентом, меньшим 1. Возможны и другие виды корректирующих устройств.

Структурно-устойчивые и структурно-неустойчивые системы

Один из способов изменения качества системы (в смысле устойчивости) – это изменить передаточный коэффициент разомкнутой системы.

При изменении k L ( ) поднимется либо опускается. Если k увеличивать, L ( ) поднимается и  ср будет возрастать, а система останется неустойчивой. Если k уменьшать, то систему можно сделать устойчивой. Это один из способов коррекции системы.

Системы, которые можно сделать устойчивыми путем изменения параметров системы, называются СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВЫМИ.

Для этих систем есть критический передаточный коэффициент разомкнутой системы. K крит. – это такой передаточный коэффициент, когда система на грани устойчивости.

Существуют системы СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВЫЕ – это такие системы, которые невозможно сделать устойчивыми изменением параметров системы, а требуется для устойчивости изменять структуру системы.

Пример.

Рассмотрим три случая:

1. Пусть

Тогда

Проверим работу системы на устойчивость.

Δ = а 3 Δ 2 >0.

Для определения k рс.кр. приравняем нулю  2 .

Тогда

При при

Рассматриваемая система СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВАЯ, так как ее можно стабилизировать путем изменения параметров звеньев.

1. Пусть и те же, что в первом случае.

Теперь Статической ошибки по каналу управления нет.

Условия устойчивости по Гурвицу:

Пусть  2 =0, тогда если то система неустойчивая.

Данная система с астатизмом 1-го порядка СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВАЯ.

1. Пусть

Всегда система неустойчива. Эта система СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВАЯ.

7.1. Понятие устойчивости САУ

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
В общем случае решение уравнения имеет вид: y(t)= y B (t) + y n (t)
где y B (t) - решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); y n (t) - установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) - решение уравнения с правой частью. Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы - это есть затухание ее переходных процессов.
Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.
Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Переходная составляющая решения уравнения в общем виде y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i) , где α i ± jβ i - корни характеристического уравнения; A i ,Φ i - постоянные.
При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней α i отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает (рис.4.1).

Рис.4.1. Графики переходных составляющих

Пара мнимых корней (α i =0) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости (рис.4.2.).

Рис.4.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости корней

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица ) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста ). Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.

Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально, из коэффициентов уравнения (4.1) составляется матрица главного определителя:

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1.), начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все угловые определители (миноры) были также положительными, т.е.

и т.д.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Δ n =a n *Δ n-1 . Поэтому его положительность сводится при Δ n-1 >0 к условию a n >0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai. Если определитель Δ n =0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Δ n-1 =0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ К кр.

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы (4.1) путем подстановки p=jω получают аналитическое выражение вектора M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении часты от 0 до + . Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)

, (4.3)

где m - число правых корней характеристического полинома; n - порядок характеристического уравнения системы.
Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до + равнялось n , так как m=0 для обеспечения устойчивости системы.
Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до + , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .
Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае P(ω) = 0 и Q(ω) = 0.
Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис.4.3 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.

Рис.4.3. Годографы Михайлова

Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений P(ω) = 0 и Q(ω) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению (4.3) можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.

7.4. Частотный критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста - частотный критерий, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется по разному в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет.
Если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -I, j0, то система будет нейтральной. На рис.4.4 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.

Рис.4.4. АФЧХ разомкнутых САУ

АФЧХ астатической системы, начинаясь на вещественной положительной полуоси, при ω->0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол, равный -ν , где ν - порядок астатизма. На рис.4.5 изображена АФЧХ устойчивой в замкнутом состоянии астатической системы первого порядка.

Рис.4.5. АФЧХ астатической САУ первого порядка

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число правых полюсов разомкнутой системы.
Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.
Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ω ср, на которой A(ω ср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной 1/а (рис.4.6), которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.

Рис.4.6. АФЧХ абсолютно устойчивой системы

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом φ (рис.4.6). В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 6-20 дБ, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по фазе от 30 до 60°.
Наиболее удобно для исследования устойчивости использовать построенные л.а.х. и л.ф.х., располагая их друг под другом так, чтобы оси ординат совмещались и выбирая одинаковые масштабы оси абсцисс (рис.4.7).

Рис.4.7. ЛЧХ абсолютно устойчивой системы

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе φ зап отсчитывается по л.ф.х. на частоте среза ω ср и равен φ зап =π - φ(ω ср), а запас по амплитуде L зап соответствует значению л.а.х. на частоте, при которой л.ф.х. равна -π (рис.4.7). Если φ(ω ср)=-&pi, то система находится на границе устойчивости. Критический коэффициент усиления разомкнутой системы K кр определяется из выражения 20*lg(K кр)=20*lg(K раз) + L зап.
Критерием Найквиста удобно пользоваться для исследования устойчивости систем с запаздыванием. В этом случае строятся ЛЧХ разомкнутой САУ с запаздыванием W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ . Логарифмическая частотная характеристика не изменяется, а л.ф.х. сдвигается вниз на величину -ω i τ, где ω i - значение частоты в конкретной точке. Критическое значение времени чистого запаздывания τ кр, при котором САУ будет на границе устойчивости, находится по формуле: .
Чтобы спроектировать систему с заданными показателями качества, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы, как показано на рис.4.8.

7.5. Логарифмический частотный критерий.

Логарифмический критерий – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы. Этот критерий основан на однозначной связи ЛФЧХ и АФЧХ систем автоматического управления. При этом рассматриваются САУ, базирующиеся на использовании устойчивых разомкнутых систем. Кроме того, рассматриваются системы с астатизмом не выше второго порядка.

Как следует из критерия устойчивости Найквиста в устойчивых САУ фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях комплексной передаточной функции, меньшем чем единица. Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Формулировка критерия : для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы больше нуля число переходов фазовой характеристики прямой снизу верх превышало на число переходов сверху вниз, где а – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

В частном случае для устойчивой разомкнутой системы (а=0) необходимым и достаточным условием замкнутой системы является необходимость выполнения следующего условия. В диапазоне частот, где , фазовая частотная характеристика не должна пересекать прямой , или пересекать ее одинаковое число раз снизу вверх и сверху вниз.

Рис. 6. ЛФЧХ устойчивой и неустойчивой САУ

Критическим значением коэффициента преобразования называется такое его значение, при котором АФЧХ проходит через точку (-1, j0) и система находится на границе устойчивости.

Запасом по модулю называется величина в децибеллах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования САУ, чтобы привести ее к границе устойчивости.

,

где - частота, при которой фазовая характеристика равна .

Запасом устойчивости по фазе называется угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая САУ оказалась на границе устойчивости.

,

где – значение ФЧХ на частоте среза системы, для которой выполняется условие .

Устойчивость -это способность системы возвращаться к номинальному режиму, если она отклонилась по каким-то причинам от этого режима.

Требования к устойчивости обязательно для всех САУ.

Строгое определение устойчивости дано А.М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (конец 19 века)

Пусть динамика системы описывается уравнением

y - выходная величина

x - входная величина

y ( i ) , x ( j ) - производные.

Предположим, что в этой системе существует номинальный режим работы у н (t ), который однозначно определяется номинальным входным воздействием х н (t ) и номинальными начальными условиями.

(2)

Так как номинальные начальные условия (2) на практике трудно выдержать, в системе существует «отклоненные» начальные условия.

(3)

Для номинального режима справедливо уравнение:

Отклоненным начальным условиям соответствует отклоненный режим.

Для отклоненного режима справедливо уравнение:

(6)

Вычтем из уравнения (5) уравнение (4), получим (7)

Введем определение.

Номинальный режим у н (t ) устойчив по Ляпунову , если при любых отклоненных начальных условиях (3) , достаточно мало отличающихся от номинальных номинальных начальных условий (2), при всех t > 0 будет мало z(t).

Если номинальный режим устойчив по Ляпунову и при этом предел
, то номинальный режим называетсяасимптотически устойчивым .

Если найдутся начальные условия (3), сколько угодно мало отличающиеся от номинальных начальных условий (2), и при этом
станет больше некоторой малой, наперед заданной величины, то номинальный режиму н (t ) называется неустойчивым.

Из (7) следует, что поведение z (t ) совершенно не зависит от вида входного воздействия х н (t ) .

Отсюда следует вывод: либо в системе (1) асимптотически устойчивы все номинальные режимы, соответствующие разным входным х н (t ), либо они все неустойчивы.

Поэтому можно говорить об устойчивости или неустойчивости системы, а не какого-либо одного ее режима.

Это важный вывод, сокращающий объем исследований САУ.

К сожалению, он справедлив только для линейных САУ.

Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных сау.

Для асимптотической устойчивости линейных систем необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения.

имела бы отрицательную вещественную часть.

Известно, что решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

1. Пусть корни вещественные .

При

- а это отклонение от номинального режима.

2. Если корни комплексные .

Необходимое условие устойчивости.

Для асимптотической устойчивости системы (1), (8) необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели один знак.

Геометрическая трактовка условия устойчивости

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения были бы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Критерии устойчивости САУ.

Это искусственные приемы, которые позволяют, не находя корней характерного уравнения, ответить на вопросы об устойчивости САУ, т.е. определять знаки вещественных частей корней.

Два вида критериев устойчивости:

1). Алгебраический критерий устойчивости (критерий устойчивости Гурвица).

Пусть заданно характерное уравнение.

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно:

1). Чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели бы один знак -
(
система не устойчива)

2). Главный определитель Гурвица, составленный по определенному правилу, и все его диагонали миноры имели бы знак коэффициентов - были бы больше нуля.

Правила написания главного определения Гурвица.

1). По главной диагонали определителя располагаются все коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания индексов, начиная с a 1 .

2). Места в определителе над главной диагональю заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания индексов.

3). Места в определителе под главной диагональю заполняются коэффициентами характерного уравнения в порядке убывания индексов.

4). Места в определителе, где должны стоять коэффициенты с индексами больше n и меньше нуля, заполняются нулями

Таким образом, главный определитель Гурвица имеет вид:

A=
>0

САУ устойчива, если

1). Все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля (0!)

,
, ….

2). Главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры > 0.

,
,
, ….

Рассмотрим примеры.

1.

1.

2.

Для устойчивости САУ второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.

1.
i=0…3

2.

Необходимым и достаточным условием устойчивости систем третьего порядка является положительность коэффициентов и произведение внутренних членов
должно быть больше произведения крайних членов
характеристического уравнения.

,

,
,

Есть еще алгебраический критерий Рауса. Это тот же критерий Гурвица, но организованный таким образом, что по нему удобно составлять программы для определения устойчивости.

Критерий устойчивости Вышнеградского для систем третьего порядка.

Вышнеградский И.А. предложил изображать границу устойчивости на так называемой плоскости параметров Вышнеградского.

Пусть имеем характеристическое уравнение третьей степени.

Преобразуем его с помощью подстановки:

Тогда оно примет вид:

A 1 и A 2 называются параметрами Вышнеградского (безразмерные величины), в плоскости которых строится граница устойчивости.

Применим к преобразованному уравнению критерий устойчивости Гурвица

или A 1 A 2 > 1

На границе устойчивости
.

Отсюда
- уравнение на границе устойчивости

По коэффициентам характеристического уравнения определяются А 1 и А 2 . Если точка оказалась ниже гиперболы – САУ устойчива, выше - неустойчива.

Понятие об устойчивости

Понятие устойчивости системы управления связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное или близкое к нему установившееся состояние после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Из данного определения следует, что устойчивость связана с характером переходных процессов и состоянием системы после окончания переходного процесса, т.е. является основной динамической характеристикой системы. Поэтому анализ устойчивости САУ является основной проблемой в теории автоматического управления.

В зависимости от характера переходного процесса различают три основных случая поведения системы после приложения возмущающего воздействия:

1) система не может восстановить равновесного состояния, значение управляемой переменной все больше отклоняется от заданного (рисунок 6.1, а); такой процесс называется расходящимся, а система – неустойчивой;

2) система возвращается к равновесному состоянию, значение управляемой переменной отличается от заданного на величину статической погрешности системы; такой переходной процесс будет сходящимся, а система - устойчивой (рисунок 6.1, б);

3) система характеризуется установившимся периодическим движением; такой процесс называется незатухающим колебательным, а система будет находится на границе асимптотической устойчивости (рисунок 6.1, в).

Рисунок 6.1 Поведение системы после приложения возмущающего воздействия

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы и чем она определяется. Пусть динамика линейной системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

Решение такого линейного неоднородного уравнения в общем случае из двух составляющих:

, (6.2)

y уст (t) - частное решение неоднородного уравнения (6.1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; такие режимы нами были рассмотрены в предыдущем параграфе;

y п (t) - общее решение однородного уравнения , которое описывает переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.

Очевидно, что система будет устойчива, если переходные процессы y п (t) , вызванные любыми возмущениями, будут затухающими, т.е. с течением времени y п (t) будет стремиться к нулю (рисунок 6.1, б).

Решение y п (t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:

, (6.3)

C i - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями и возмущениями;

l i - корни характеристического уравнения:

Таким образом, переходный процесс y п (t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней l i характеристического уравнения (6.4).

В общем случае корни характеристического уравнения являются комплексными, образуя пары сопряженных корней:

где a i может быть как положительной, так и отрицательной величиной, причем корень вещественный, если b j =0 и мнимый, если a i =0 .

Каждая пара таких корней определяет составляющую переходного процесса, равную:

и определяются через и .

Нетрудно увидеть, что эта составляющая представляет собой синусоиду: с затухающими колебаниями, если a i <0 ; с расходящимися колебаниями, если a i >0 ; с незатухающими синусоидальными колебаниями при a i =0 .

Таким образом, условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части корня характеристического уравнения системы.

Если b=0 , то процесс определяется только вещественной частью корня a и является апериодическим. В общем случае, переходный процесс в системе состоит из колебательной и апериодической составляющих. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчива. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит и всего переходного процесса в целом, является отрицательность действительной части всех корней характеристического уравнения системы, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы.

Наиболее наглядно вышеизложенное можно проиллюстрировать, если изобразить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости (рисунок 6.2). В этом случае найденное выше условие устойчивости можно сформулировать так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения системы, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости, или, говоря короче, все корни должны быть «левыми». Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Рисунок 6.2 Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Итак, на первый взгляд задача исследования устойчивости не представляет затруднений, так как достаточно определить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Однако определение корней характеристического уравнения, имеющего порядок выше третьего, сопряжено со значительными трудностями, в связи с чем и возникает проблема исследования устойчивости систем, динамические процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка.

Частичное решение этой проблемы найдено косвенным путем. Разработан ряд признаков, по которым можно судить о знаках действительных частей корней характеристического уравнения системы и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. При этом обычно встречаются две постановки задачи исследования устойчивости системы:

1)заданы все параметры системы и необходимо определить, устойчива ли система при этих значениях параметров;

2)необходимо определить значения некоторых параметров (при заданных остальных), при которых система устойчива.

Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называется критерием устойчивости.

Устойчивость системы автоматического управления Устойчивость системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым в 1892.

═ Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение √ непосредственно по его коэффициентам. При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х. Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.

═ Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие √ неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации .

═ Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем.

═ Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных алгоритмов , так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.

═ Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч., т. 2, М. √ Л., 1956; Воронов А. А., Основы теории автоматического управления, т, 2, М. √ Л., 1966; Наумов Б. Н., Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы, М., 1972; Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева, 3 изд., М., 1974.

═ В. С. Пугачев, И. Н. Синицын.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Устойчивость системы автоматического управления" в других словарях:

Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ - научное направление, изучающее принцип построения системы автоматического управления (САУ). Т. а. у. составляет одну из частей общей теории управления. Цель Т. а. у. построение работоспособных и точных САУ. Простейшая и наиболее распространенная… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

Совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных режимах его работы. С. а. у. ГТД выполняет следующие … Энциклопедия техники

Энциклопедия «Авиация»

система автоматического управления ГТД - система автоматического управления ГТД — совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных… … Энциклопедия «Авиация»

I Устойчивость решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения (См. Устойчивость движения) в механике; имеет также важное… …

Устойчивость способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества. В метеорологии… … Википедия

См. Устойчивость системы автоматического управления … Большая советская энциклопедия

Структура управления систематизированный (строго определенный) набор средств сбора сведений о подконтрольном объекте и средств воздействия на его поведение с целью достижения определённых целей. Объектом системы управления могут быть как… … Википедия

Летательного аппарата способность летательного аппарата (в том числе летательного аппарата с системой улучшения устойчивости и управляемости) восстанавливать без вмешательства лётчика исходный режим продольного движения после прекращения действия … Энциклопедия техники

Книги

• Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине "Теория автоматического управления" . Материал…
• Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие. Гриф УМО вузов России , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине`Теория автоматического управления`. Материал…