Напомним необходимые сведения о комплексных числах.
Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
(Например, 
.)
У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z
= a
+ bi
можно изображать вектором с координатами (a
; b
) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a
; b
) равна . Эта величина называется модулем
комплексного числа z
= a
+ bi
и обозначается |z
|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом
комплексного числа z
и обозначается Arg z
. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π
радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r
образует угол φ
с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r
· cos φ
; r
· sin φ
). Отсюда получается тригонометрическая форма записи
комплексного числа: z
= |z
| · (cos(Arg z
) + i
sin(Arg z
)). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z
1 · z
2 = |z
1 | · |z
2 | · (cos(Arg z
1 + Arg z
2) + i
sin(Arg z
1 + Arg z
2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра
: z n
= |z
| n
· (cos(n
· (Arg z
)) + i
sin(n
· (Arg z
))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z
- это такое комплексное число w
, что w n
= z
. Видно, что 
, а , где k
может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n
– 1}. Это означает, что всегда есть ровно n
корней n
-й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n
-угольника).
План урока.
1. Организационный момент.
2. Изложение материала.
3. Домашнее задание.
4. Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент .
II. Изложение материала .
Мотивация.
Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.
Введение понятия комплексного числа.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1 .
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i .
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i .
Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0i = a .
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение . Суммой комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называется комплексное число z , действительная часть которого равна сумме действительных частей z 1 и z 2 , а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z 1 и z 2 , то есть z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i .
Числа z 1 и z 2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .
2º. Ассоциативность: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается -z . Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i) .
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z 1 комплексное число z 2 z, что z + z 2 = z 1 .
Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i) .
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i .
3) Умножение.
Определение . Произведением комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z , определяемое равенством: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i .
Числа z 1 и z 2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1 .
2º. Ассоциативность: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .
4º. z · = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i) .
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .
4) Деление.
Определение . Разделить комплексное число z 1 на комплексное число z 2 , значит найти такое комплексное число z , что z · z 2 = z 1 .
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z 2 ≠ 0 + 0i .
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , тогда
.
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное 
.
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23 .
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Рассмотрим квадратное уравнение .
Определим его корни .
Не существует действительного
числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой определить
оператор i
как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать
в виде 
. При этом 
и
- комплексные числа, в которых -1
это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая
часть – это также действительное (вещественное) число. Мнимая часть,
умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число
.
В общем виде комплексное число имеет вид
z = x + iy ,
где x, y – вещественные числа, – мнимая единица. В ряде прикладных наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов мнимая единица обозначается через j . Вещественные числа x = Re{z} и y = Im{ z} называются вещественной и мнимой частями числа z. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Любое
действительное число есть частный случай комплексного числа в виде 
. Мнимое число тоже частный случай
комплексного числа 
.
Определение множества комплексных чисел С
Это выражение читается следующим образом: множество С , состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица. Отметим, что и т.д.
Два комплексных числа 
и 
равны, если и только если равны их
действительные и мнимые части, т.е. и .
Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.
- Арифметика комплексных чисел
Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.
Соответственно разность двух комплексных чисел
Комплексное число 
называется
комплексно
сопряженным
числу z
=
x +
iy.
Комплексно сопряженные числа z и z * отличаются знаками мнимой части. Очевидно, что
.
Любое равенство между комплексными выражениями остается
справедливым, если в этом равенстве всюду i
заменить на -
i
,
т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i
и –
i
алгебраически
неразличимы, поскольку 
.
Произведение (умножение) двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:
Деление двух комплексных чисел:
Пример :
- Комплексная плоскость
Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x, y).
На оси Ox будем располагать действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью , на оси Oy –мнимые части y комплексных чисел. Она носит название мнимой оси . При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью . Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА .
Число x называется абсциссой комплексного числа , число y – ординатой .
Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.
 |
Если на плоскости задать полярную
систему координат
, то каждое комплексное число z
определяется полярными координатами . При этом модуль
числа 
– это полярный радиус точки, а угол
- её полярный угол
или аргумент комплексного числа z
.
Модуль
комплексного числа 
всегда неотрицательный. Аргумент комплексного числа не
определяется однозначно. Главное значение аргумента должно удовлетворять
условию 
. Каждой точке комплексной плоскости
соответствует также общее значение аргумента .
Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент
числа нуль не определен.
Главное значение аргумента определяют по выражениям:
Очевидно, что
При этом
, 
.
Представление комплексного числа z в виде
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример .
- Показательная форма комплексных чисел
Разложение в ряд Маклорена
для функций действительного аргумента 
имеет
вид:
Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z разложение имеет аналогичный характер
.
Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно представить как
Получившееся тождество называется формулой Эйлера .
Для отрицательного аргумента оно имеет вид
Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса
.
Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел
можно получить показательную (экспоненциальную, полярную) форму комплексного числа, т.е. его представление в виде
,
где 
- полярные
координаты точки с прямоугольными координатами (x,
y
).
Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом .
Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел
Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90
При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.
Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества
с помощью формулы Эйлера можно записать
Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов
- Степени, корни и логарифмы комплексных чисел
Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле
Пример
. Вычислим 
.
Представим число в тригонометрической форме
’
Применяя формулу возведения в степень, получим
Положив в выражении значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять выражения синусов и косинусов кратных углов.
Корень n –й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, определяемых по выражению
Пример . Найдем .
Для этого выразим комплексное число () к тригонометрической форме
.
По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем
Логарифм комплексного числа z – это число w , для которого . Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле
Состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной U m , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω .
При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель. Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к дифференцированию / интегрированию вещественной и мнимой части.
Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения
заключается
в умножении его на iω
- вещественная часть функции f(z),
а 
– мнимая часть функции. Примеры: 
.
Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w - точкой в комплексной плоскости w . При отображении w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w , фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\ z \) в виде \(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, \(\ i \) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\ i^{2}=-1 \)
Число \(\ x \) называется вещественной частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ x=\operatorname{Re} z \)
Число \(\ y \) называется мнимой частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ y=\operatorname{Im} z \)
Например:
Комплексное число \(\ z=3-2 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=3+2 i \)записаны в алгебраической форме.
Мнимая величина \(\ z=5 i \)записывается в алгебраической форме.
Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.
Напишите число \(\ z=\frac{7-i}{4}+13 \) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.
Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:
\(\ z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \)
Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\ z=\frac{5 g}{4}-\frac{1}{4} i \) есть число \(\ x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \) , мнимая часть - число \(\ y=\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \)
Сопряженное число: \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)
\(\ z=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \), \(\ \operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \), \(\ \operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \), \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)
Действия комплексных чисел в алгебраической форме сравнение
Два комплексных числа \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) называются равными, если \(\ x_{1}=x_{2} \), \(\ y_{1}=y_{2} \) т. e. Их действительная и мнимая части равны.
Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\ z_{1}=13+y i \) и \(\ z_{2}=x+5 i \) равны.
По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).
прибавление
Добавление комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:
\(\ z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) \)
Найти сумму комплексных чисел \(\ z_{1}=-7+5 i \), \(\ z_{2}=13-4 i \)
Действительной частью комплексного числа \(\ z_{1}=-7+5 i \) является число \(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=-7 \) , мнимая часть - число \(\ y_{1}=\mathrm{Im} \), \(\ z_{1}=5 \) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\ z_{2}=13-4 i \) равны соответственно \(\ x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=13 \) и \(\ y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=-4 \) .
Следовательно, сумма комплексных чисел:
\(\ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i \)
\(\ z_{1}+z_{2}=6+i \)
Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.
Вычитание
Вычитание комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:
\(\ z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right) \)
найти разницу сложных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \)
Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \) :
\(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15 \)
\(\ y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5 \)
Поэтому разница комплексных чисел:
\(\ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i \)
\(\ z_{1}-z_{2}=2-40 i \) умножение
Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \) :
\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)
\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)
Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \)
Комплекс комплексных чисел:
\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)
\(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \) разделение
Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:
\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)
Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\ z=1+2 i \).
Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:
\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)
\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)