Соглашение об использовании материалов сайта
Просим использовать работы, опубликованные на сайте , исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Сложение и умножение целых p-адических чисел, определяемое как почленное сложение и умножение последовательностей. Кольцо целых p-адических чисел, исследование свойств их деления. Объяснение данных чисел с помощью ввода новых математических объектов.
курсовая работа , добавлен 22.06.2015
Как люди научились считать, возникновение цифр, чисел и систем счисления. Таблица умножения на "пальцах": методика умножения для чисел 9 и 8. Примеры быстрого счета. Способы умножения двузначного числа на 11, 111, 1111 и т.д. и трехзначного числа на 999.
курсовая работа , добавлен 22.10.2011
Новый способ умножения чисел. Схожесть образующейся при вычислении матрицы из цифр, с треугольником относительна, но все же есть, особенно при умножении трехзначных чисел и выше. Треугольная матрица.
статья , добавлен 06.02.2005
реферат , добавлен 13.01.2011
Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа , добавлен 24.12.2010
Множество неотрицательных действительных чисел как интерпретируемое подмножество R. Делимость в мультипликативных полугруппах. Строение числовых НОД и НОК полугрупп. Изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.
дипломная работа , добавлен 27.05.2008
Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе.
презентация , добавлен 09.10.2011
Первоначальные элементы математики. Свойства натуральных чисел. Понятие теории чисел. Общие свойства сравнений и алгебраических уравнений. Арифметические действия со сравнениями. Основные законы арифметики. Проверка результатов арифметических действий.
курсовая работа , добавлен 15.05.2015
Требования к системе аксиом, аксиомы Пеано. При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: 1) некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; 2) каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение. В нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий. 3) формулируется аксиомы, т.е предложения, которое в данной теории принимается без доказательства. В аксиомах раскрываются свойства основных понятий. 4) каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом должно быть доказано. Такие предложения называются теоремами. Их доказывают на основе аксиом и теорем, предшествующих данной.
Т.О. аксиоматический метод построения математической теории проходит через несколько этапов: 1) введение основных неопределяемых понятий (н-р: множество, элемент множества в теории множеств). 2)введение основных отношений (н-р: отношение принадлежности в теории множеств). 3) через указание основных понятий и основных отношений вводится определение других понятий и отношений (н-р: в теории множеств понятия объединения, пересечения, разности, дополнения).
При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Основу такой теории составляет система аксиом, и к системе аксиом предъявляются особые требования: 1)система аксиом должна быть непротиворечивой. Систему аксиом называют непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимоисключающих друг друга предложения. Другими словами, нельзя вывести высказывание и отрицание данного высказывания, так чтобы они одновременно были истинными. Чтобы убедится в непротиворечивости системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 2) система аксиом должна быть независимой. Система аксиом называется независимой, если никакие из аксиом этой системы не являются следствием других аксиом. Другими словами каждая аксиома этой системы не может быть выведена из остальных аксиом. Чтобы доказать независимость системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 3) система аксиом должна быть полной, т.е. количество аксиом выбранных в данной теории должно быть достаточно для введения новых понятий, отношений, доказательства теорем, для построения всей теории.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом, но они должны быть равносильными. В качестве основного понятия при аксиоматическом построении системы натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за». Известными так же считаются понятия «множество», «элемент множества», правило логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а - штрих.
Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах: 1) во множестве натуральных чисел существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, данный элемент 1 (единица). 2) для каждого элемента а из множества натуральных чисел (N) существует единственный элемент а? , не посредственно следующий за а. 3) для каждого элемента а из N, существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. 4) всякое подмножество М множества N, обладающего свойствами: 1 М, и из того, что а содержится в М что и а? содержится в М, совпадает со множеством N.
Перечисленные системы аксиом называются аксиомами Пеано. Т.О. множество чисел, для которых устанавливается отношение непосредственно следовать за, удовлетворяющее аксиомам Пеано, называется множеством натуральных чисел, а его элемент - натуральным числом. Четвертая аксиома описывает бесконечность натурального ряда чисел и называется аксиомой индукции. На ее основе проводится доказательство различных утверждений методом математической индукции, который заключается в следующем: чтобы доказать, что данное утверждение истинно для любого натурального числа необходимо: 1) доказать, что это утверждение истинно для единицы, 2) из предложения, что утверждение истинно для произвольного числа к, доказать, что оно истинно и для следующего числа к?.
В определении множества N ничего не говорится о природе этого множества, значит оно может быть каким угодно. Выбирая в качестве множества N любое множество, на котором задано отношение непосредственно следовать за и удовлетворяющее аксиомам Пеано получим модель данной системы аксиом. Между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие. Эти модели будут отличаться только природой элементов, названием и обозначением. Н-р: 1, 2, 3, 4, 5… 0.00,000,0000,00000, … Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
Полисемия
Полисемия, или многозначность слов возникает вследствие того, что язык представляет систему, ограниченную по сравнению с бесконечным многообразием реальной действительности, так что говоря словами академика Виноградова, " Язык оказывается вынужденным разносить бесчисленное множество значений по тем или иным рубрикам основных понятий". (Виноградов "Русский язык" 1947). Нужно различать различное употребление слов в одном лексико-семантическом варианте и действительное различие слова. Так, например, словом (das)Ol можно обозначить ряд различных масел, кроме коровьего (для которого существует слово Butter). Однако из этого не следует, что, обозначая различные масла, слово Ol будет иметь каждый раз другое значение: во всех случаях значение его будет одно и то же, а именно масло(всякое, кроме коровьего). Так же как например значение слова Tisch стол независимо от того, какой вид стола обозначает слово в данном конкретном случае. Иначе обстоит дело, когда слово Ol обозначает нефть. Здесь на первый план выдвигается уже не сходство нефти по линии маслянистости с различными сортами масла, а особое качество нефти - горючесть. И при этом со словом Ol будут соотноситься уже слова, обозначающие различные виды топлива: Kohl, Holz и т.д. Это дает нам возможность выделить у слова Ol два значения (или говоря иначе, два лексико-семантических варианта): 1) масло (не животное) 2) нефть.
Обычно новые значения возникают путем переноса одного из существующих слов на новый предмет или явление. Так образуются переносные значения. В их основе лежит либо сходство предметов, либо связь одного предмета с другим. Известны несколько типов переноса названий. Важнейшие из них - метафора или метонимия.
При метафоре перенос основан на сходстве вещей по цвету, форме, характеру движения и так далее. При всех метафорических изменениях какой-нибудь признак первоначального понятия остается
Омонимия
Многозначность слова настолько большая и многоплановая проблема, что самые разнообразные проблемы лексикологии так или иначе оказываются связанными с нею. В частности с этой проблемой некоторыми своими сторонами соприкасается и проблема омонимии.
Омонимы - это слова, одинаковые по звучанию, но разные по своему значению. Омонимы в ряде случаев возникают их полисемии, подвергнувшейся процессу разрушения. Но омонимы могут возникнуть и в результате случайных звуковых совпадений. Ключ, которым открывают дверь, и ключ - родник или коса - прическа и коса - земледельческое орудие - эти слова имеют различное значение и различное происхождение, но случайно совпавшие в своем звучании.
Омонимы различают лексические (относятся к одной части речи, напр.ключ - для открывания замка и ключ - родник. источник) морфологические (относятся к разным частям речи, напр. три - числительное, три - глагол в повелительном наклонении), лексико- грамматические, которые создаются в результате конверсии, когда данное слово переходит в другую часть речи. например в анг. look- смотреть и look-взгляд. Особенно много лексико-грамматических омонимов в английском языке.
От омонимов нужно отличать омофоны и омографы. Омофонами называют разные слова, которые, различаясь при их принаписании, совпадают в произношении, например: лук - луг, Seite - страница и Saite - струна.
Омографами называют такие разные слова, которые совпадают по написанию, хотя и произносятся различно (как в отношении звукового состава, так и и места ударения в слове), например Замок - замок.
Синонимия
Синонимы - это близкие по значению, но разно звучащие слова, выражающие оттенки одного понятия.
Выделяются три вида синонимов:
1. Понятийные, или идеографические. Они отличаются друг от друга лексическим значением. Это различие проявляется в разной степени обозначаемого признака (мороз - стужа, сильный, мощный, могучий), в характере его обозначения (ватник - стеганка - телогрейка), в обеъеме выражаемого понятия (знамя - флаг, дерзкий - смелый), в степени связанности лексического значения (коричневый - карий, черный - вороной).
2. Синонимы стилевые, или функциональные. Они отличаются друг от друга сферой употребления, например, глаза - очи, лицо - лик, лоб - чело. Синонимы эмоционально - оценочные. Эти синонимы открыто выражают отношение говорящего к обозначаемому лицу, предмету или явлению. Например, ребенка можно торжественно назвать дитя, ласкательно мальчуган и мальчонка, презрительно мальчишка и молокосос, а также усилительно - презрительно щенок, сосунок, сопляк.
3. Антонимы - объединения слов, противоположных по своему лексическому значению, например: верх - низ, белый - черный, говорить- молчать, громко- тихо.
Антонимия
Есть три вида антонимов:
1. Антонимы градуальной и координированной противоположности, например, белый - черный, тихо - громко, близкий - далекий, добрый - злой и так далее. У этих антонимов есть общее в их значении, которое и допускает их противопоставления. Так понятия черный и белый обозначают противоположные цветовые понятия.
2. Антонимы дополняющей и конверсивной противоположности: война -мир, муж - жена, женатый - холостой, можно - нельзя, закрывать - открывать.
3. Антонимы дихотомического деления понятий. Они часто являются однокоренными словами: народный - антинародный, законный - противозаконный, человечный - бесчеловечный.
Интерес представляет собой и т. н. внутрисловная антонимия, когда противопоставляются значения слов, имеющих одну и ту же материальную оболочку. Например, в русском языке глагол одолжить кому-нибудь денег значит "дать в долг", а одолжить у кого-нибудь денег уже означает взять у кого-нибудь в долг. Внутрисловное противопоставление значений получило название энантиосемии.
6. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Аксиоматический метод построения математической теории. Требования к системе аксиом: непротиворечивости, независимости, полноты. Аксиоматика Пеано. Понятие натурального числа с аксиоматических позиций. Модели системы аксиом Пеано. Сложение и умножение натуральных чисел с аксиоматических позиций. Упорядоченность множества натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел. Вычитание и деление множества натуральных чисел с аксиоматических позиций. Метод математической индукции. Введение нуля и построение множества целых неотрицательных чисел. Теорема о делении с остатком.
Основные понятия и определения
Число – это выражение определенного количества.
Натуральное число элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел - числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
Аксиома – это основные исходные положения (самоочевидные принципы) той или иной теории, из которых путем дедукции, то есть чисто логическими средствами, извлекается все остальное содержание этой теории.
Число, которое имеет только два делителя (само это число и единицу) называется - простым числом.
Составное число - это такое число, которое имеет более двух делителей.
§2. Аксиоматика натурального числа
Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляется числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на это был дан в работах двух математиков -немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам .
Пять аксиом можно рассматривать как аксиоматическое определение основных понятий:
1 есть натуральное число;
Следующее за натуральным числом есть натуральное число;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с , то b и с тождественны;
Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n , вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.
Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось.
И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Их можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Можно записать буквами: a+b = b+a. Можно выразить специальными терминами.
Мы применяем основные законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого:
1) переместительный закон (коммутативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) cочетательный закон (ассоциативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:
(a+b)+с = а+(b+с) (a*b)*с = а*(b*с);
3) распределительный закон (дистрибутивность), – свойство, связывающее сложение и умножение чисел и выражающееся тождествами:
a*(b+с) = а*b+а*с (b+с) *a = b*а+с*а.
После доказательства переместительного, сочетательного и распределительного (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметических действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений.
В настоящее время в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу калькуляторам, вычислительным машинам. Однако в основе работы всех вычислительных машин – простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз.
Аксиоматические методы в математике
Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т.д. Аксиоматический метод можно определить как теорию, которая строится на предварительно выбранной системе неопределяемых понятий и отношений между ними.
В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношений между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее вводятся аксиомы т.е. основные положения рассматриваемой теории, принимаемые без доказательств. Все дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.
ОЗО МАТЕМАТИКА 1 курс 2 семестр
Пример 1: Обоснуем выбор действия при решении задачи: «Купили 4 пачки цветной бумаги, а белой на 3 пачки больше. Сколько пачек белой бумаги купили?»
Решение. В задаче речь идет о двух множествах. Пусть А - множество пачек цветной бумаги, В - множество пачек белой бумаги. По условию известно число пачек цветной бумаги, т.е. n(A)=4, а численность множества В требуется найти. Кроме того, согласно условию задачи в множестве В можно выделить подмножество С, численность которого равна 3, т.е. n(C)=3. Сделаем это, например, так, как показано на рис. 1.
Рисунок 1
Тогда разность В \ С = В 1 будет равномощна множеству А, т.е. n(B 1) = n(A).
Таким образом, множество В является объединением множеств В 1 и С, где В 1 С=Æ.
Задача сводится к определению численности объединения двух непересекающихся множеств и решается действием сложения: n(B) = n(B 1 С) = n(B 1) + n(C); n(B) = 4+3 = 7.
Пример 2: Используя понятие числа как меры величины, обоснуем выбор действия при решении задачи: «На юбку израсходовали 3м ткани, а на блузку 2м. Сколько метров ткани пошло на весь костюм?»
Решение: В задаче речь идет о величине – длина, которая измеряется при помощи единицы величины 1метр, т.к. величина длина непрерывная, то объяснить выбор действия при решении задачи будем при помощи отрезков (рис.2).
Пусть е=1м, отрезок а показывает длину ткани, израсходованной на юбку, а=3е. Отрезок в показывает длину ткани, израсходованной на блузку, в=2е. Т.к. в задаче требуется узнать количество всей израсходованной ткани, то отрезок с будет обозначать количество всей израсходованной ткани: с = а + в.
Рисунок 2
| а=3е в=2е m е (с)= m e (a)+m е (в) m е (с) = 2+3 m е (с) = 5 Ответ: 5 м. |
Пример 3: Используя понятие числа как меры величины, обоснуем выбор действия при решении задачи: «В первом ящике было 12кг печенья, а во втором на 3кг меньше. Сколько килограммов печенья было во втором ящике?»
Решение: В задаче речь идет о величине масса, единица измерения которой 1килограмм, е = 1 кг, т.к. величина, масса непрерывная, то объяснять выбор действия при решении задачи будем при помощи отрезков (рис.3).
Пусть е=1кг, отрезок а показывает сколько килограммов печенья было в первом ящике, а = 12е.
Отрезок b показывает на сколько килограммов печенья было во втором ящике меньше, чем в первом, в = 3е.
Отрезок с показывает сколько килограммов печенья было во втором ящике, m e (с) - ? Известно, что во втором ящике на 3 кг печенья меньше, чем в первом, т.е. столько же, но на 3 меньше.
| Пусть d=a, тогда c = d – b. а = 12е, значит d = 12е. m e (c)= m e (d)-m e (в) m e (c)=12-3 m e (c)=9 |  Рисунок 3
|
Ответ: 9 килограммов печенья было во втором ящике.
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила :
· некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;
· каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение;
· формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;
· каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и терем.
При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся из аксиом путем доказательства.
Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования:
· непротиворечивость (система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения);
· независимость (система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом).
Множество, с заданным в нем отношением называется моделью данной системы аксиом, если в нем выполняются все аксиомы данной системы.
Построить систему аксиом для множества натуральных чисел можно многими способами. За основное понятие можно принять, например, сумму чисел или отношение порядка. В любом случае нужно задать систему аксиом, описывающие свойства основных понятий.
Дадим систему аксиом, приняв основное понятие операцию сложения.
Непустое множество N назовем множеством натуральных чисел, если в нем определена операция (a; b) → a + b , называемая сложением и обладающая свойствами:
1. сложение коммутативно, т.е. a + b = b + a.
2. сложение ассоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).
4. в любом множестве А , являющемся подмножеством множества N , где А есть число а такое, что все хА , равны a + b , где bN.
Аксиом 1 - 4 достаточно, чтобы построить всю арифметику натуральных чисел. Но при таком построении уже нельзя опираться на свойства конечных множеств, не нашедших отражение в этих аксиомах.
Возьмем в качестве основного понятия отношение «непосредственно следовать за…», заданное на непустом множестве N . Тогда натуральным рядом чисел будет являться множество N, в котором определено отношение «непосредственно следовать за», а натуральными числами будут называться все элементы N, причем имеют место следующие аксиомы Пеано :
АКСИОМА 1 .
Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.
АКСИОМА 2.
Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а, непосредственно следующий за а.
АКСИОМА 3.
Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
АКСОИМА 4.
Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а содержится в М.
Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 - 4, называется множеством натуральных чисел , а его элементы - натуральные числами.
Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 - 4, то получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом.
Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …
Моделью аксиом Пеано может быть любое счетное множество.
Например, I, II, III, IIII, …
о оо ооо оооо, …
один два три четыре, …
Рассмотрим последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис.15).
Тогда N
есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано.
Действительно, во множестве N существует элемент {oo}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. выполняется аксиома 1. Для каждого множества А рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М N и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А , также содержится в М , то М = N , и значит выполняется аксиома 4.
В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.
Установим, какие из множеств, приведенных на рис. 16, являются моделью аксиом Пеано.
|
Решение. На рисунке 16 а) изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3. Действительно, для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Но в этом множестве не выполняется аксиома 1 (аксиома 4 не имеет смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.
На рисунке 16 б) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.
На рис. 16 в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует сразу за двумя элементами. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.
На рис. 16 г) изображено множество, удовлетворяющее аксиомам 2, 3, и, если в качестве начального элемента возьмем число 5, то данное множество будет удовлетворять аксиомам 1 и 4. Т.е., в данном множестве для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Существует и элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, это 5, т.е. выполняется аксиома 1. Соответственно будет выполняться и аксиома 4. Поэтому данное множество является моделью аксиом Пеано.
Используя аксиомы Пеано, можно доказывать ряд утверждений Например,докажем, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство х х.
Доказательство. Обозначим через А множество натуральных чисел, для которых а а. Число 1 принадлежит А , поскольку оно не следует ни за каким числом из N , а значит, не следует само за собой: 1 1. Пусть аА, тогда а а. Обозначим а через b . В силу аксиомы 3, а b, т.е. b b и bА.